Als diagonalisierbare Matrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. Sie lässt sich mittels eines Basiswechsels (also der Konjugation mit einer regulären Matrix) in eine Diagonalmatrix transformieren. [1] Das Konzept lässt sich auf Endomorphismen übertragen.. In diesem Video wird erklärt, wie man eine Matrix diagonalisiert. Du lernst, was es bedeutet, eine Matrix zu diagonalisieren und wie du den Diagonalisierungsprozess Schritt für Schritt durchführst. Am Ende des Videos wirst du in der Lage sein, eine Matrix selbstständig zu diagonalisieren.
Als diagonalisierbare Matrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. Sie lässt sich mittels eines Basiswechsels (also der Konjugation mit einer regulären Matrix) in eine Diagonalmatrix transformieren. Das Konzept lässt sich auf Endomorphismen übertragen.
Definition
Eine quadratische
n
×
n
{\displaystyle n\!\times \!n\!\ }
-Matrix
A
{\displaystyle A}
über einem Körper
K
{\displaystyle K}
heißt diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn es eine Diagonalmatrix
D
A
∈
K
n
×
n
{\displaystyle D_{A}\in K^{n\times n}}
gibt, zu der sie ähnlich ist, d. h., zu der eine reguläre Matrix
S
∈
K
n
×
n
{\displaystyle S\in K^{n\times n}}
existiert mit
D
A
=
S
−
1
A
S
.
{\displaystyle D_{A}=S^{-1}AS.}
Ein Endomorphismus
f
:
V
→
V
{\displaystyle f\colon \,V\to V}
eines endlichdimensionalen Vektorraumes
V
{\displaystyle V}
heißt diagonalisierbar, falls eine Basis
B
{\displaystyle B}
von
V
{\displaystyle V}
existiert, bezüglich der die Abbildungsmatrix
M
B
B
(
f
)
{\displaystyle M_{B}^{B}(f)}
eine Diagonalmatrix ist. Die Basis
B
{\displaystyle B}
besteht dann aus Eigenvektoren von
f
{\displaystyle f}
.
Orthogonal bzw. unitär diagonalisierbare Matrix
Eine Matrix
A
∈
R
n
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
heißt orthogonal diagonalisierbar, wenn eine orthogonale Matrix
S
∈
R
n
×
n
{\displaystyle S\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
existiert, sodass
S
−
1
A
S
=
S
T
A
S
{\displaystyle S^{-1}AS=S^{\mathsf {T}}AS}
eine Diagonalmatrix ist, wobei
S
T
{\displaystyle S^{\mathsf {T}}}
die zu
S
{\displaystyle S}
transponierte Matrix bezeichnet. Das trifft genau dann zu, wenn die Matrix
A
{\displaystyle A}
symmetrisch ist.
Eine Matrix
A
∈
C
n
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
heißt unitär diagonalisierbar, wenn eine unitäre Matrix
S
∈
C
n
×
n
{\displaystyle S\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
existiert, sodass
S
−
1
A
S
=
S
H
A
S
{\displaystyle S^{-1}AS=S^{\mathsf {H}}AS}
eine Diagonalmatrix ist, wobei
S
H
{\displaystyle S^{\mathsf {H}}}
die zu
S
{\displaystyle S}
adjungierte Matrix bezeichnet. Das trifft genau dann zu, wenn die Matrix
A
{\displaystyle A}
normal ist.
In einem endlichdimensionalen euklidischen bzw. unitären Vektorraum
V
{\displaystyle V}
heißt ein Endomorphismus
f
:
V
→
V
{\displaystyle f\colon \,V\to V}
orthogonal bzw. unitär diagonalisierbar, wenn eine Orthonormalbasis
B
{\displaystyle B}
von
V
{\displaystyle V}
existiert, sodass die Abbildungsmatrix
M
B
B
(
f
)
{\displaystyle M_{B}^{B}(f)}
eine Diagonalmatrix ist. Dieser Fall liegt genau dann vor, wenn der Endomorphismus
f
{\displaystyle f}
selbstadjungiert bzw. normal ist.
Weitere Charakterisierungen der Diagonalisierbarkeit
Sei
A
{\displaystyle A}
eine
n
{\displaystyle n}
-dimensionale Matrix mit Einträgen aus einem Körper
K
{\displaystyle K}
. Jede der folgenden sechs Bedingungen wird genau dann erfüllt, wenn
A
{\displaystyle A}
diagonalisierbar ist.
- Das Minimalpolynom
μ
A
(
λ
){\displaystyle \mu _{A}(\lambda )}
zerfällt vollständig in
k
≤
n{\displaystyle k\leq n}
paarweise verschiedene Linearfaktoren:
μ
A
(
λ
)
=
±
(
λ
−λ
1
)
⋅
⋯
⋅
(
λ
−λ
k
)
{\displaystyle \mu _{A}(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})\cdot \dots \cdot (\lambda -\lambda _{k})}
mit
λ
i
∈
K{\displaystyle \lambda _{i}\in K}
- Das charakteristische Polynom
χ
A
(
λ
){\displaystyle \chi _{A}(\lambda )}
zerfällt vollständig in Linearfaktoren und die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert
λ
i
∈
K{\displaystyle \lambda _{i}\in K}
.
- Es gibt eine Basis für
K
n
{\displaystyle K^{n}}
, die aus Eigenvektoren für
A
{\displaystyle A}
besteht.
- Die Summe der Dimensionen der jeweiligen Eigenräume ist gleich
n
{\displaystyle n}
:
∑
λ
∈
σ
(
A
)dim
(E
λ
(
A
)
)
=
n{\displaystyle \sum _{\lambda \in \sigma (A)}\dim(E_{\lambda }(A))=n}
, wobei
σ
(
A
){\displaystyle \sigma (A)}
das Spektrum bezeichnet.
-
K
n
{\displaystyle K^{n}}
ist die direkte Summe der jeweiligen Eigenräume:
K
n
=
⨁
λ
∈
σ
(
A
)E
λ
(
A
){\displaystyle K^{n}=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (A)}E_{\lambda }(A)}
.
Ist zusätzlich
K
{\displaystyle K}
algebraisch abgeschlossen, ist die Aussage äquivalent zu:
- Alle Jordanblöcke der Jordanschen Normalform
J
A
{\displaystyle J_{A}}
haben die Dimension 1.
Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix
- Die Diagonaleinträge von
D
A
{\displaystyle D_{A}}
zu einer diagonalisierbaren Matrix
A
{\displaystyle A}
sind gerade die Eigenwerte von
A
{\displaystyle A}
.
- Da
S
{\displaystyle S}
invertierbar ist, folgt, dass
(
Se
1
,
…
,
Se
n
)
{\displaystyle (Se_{1},\ldots ,Se_{n})}
linear unabhängig ist.
- Es ergibt sich die notwendige Bedingung, dass eine
n
{\displaystyle n}
-dimensionale diagonalisierbare Matrix
n
{\displaystyle n}
linear unabhängige Eigenvektoren haben muss. Der Raum, auf dem sie operiert, besitzt also eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix. Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus
n
{\displaystyle n}
gefundenen linear unabhängigen Eigenvektoren von
A
{\displaystyle A}
mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete
D
A
{\displaystyle D_{A}}
und
S
{\displaystyle S}
ganz direkt konstruieren.
Das Problem reduziert sich damit auf das Auffinden von
n
{\displaystyle n}
linear unabhängigen Eigenvektoren von
A
{\displaystyle A}
.
- Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für Diagonalisierbarkeit ist, dass das charakteristische Polynom
χ
A
{\displaystyle \chi _{A}}
vollständig in Linearfaktoren zerfällt: So ist
A
=(
0
1
0
0
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}
nicht diagonalisierbar, obwohl
χ
A
(
X
)
=X
2
{\displaystyle \chi _{A}(X)=X^{2}}
. Eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung für Diagonalisierbarkeit ist, dass
χ
A
{\displaystyle \chi _{A}}
vollständig in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt: So ist
A
=(
1
0
0
1
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
diagonalisierbar, obwohl
χ
A
(
X
)
=
(
X
−
1)
2
{\displaystyle \chi _{A}(X)=(X-1)^{2}}
.
- Für eine diagonalisierbare Matrix ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.
- Die Matrixpotenz einer diagonalisierbaren Matrix
A
{\displaystyle A}
lässt sich berechnen durch
A
n
=
S
⋅
D
A
n
⋅
S
−
1
{\displaystyle A^{n}=S\cdot D_{A}^{n}\cdot S^{-1}}
Die Potenz einer Diagonalmatrix erhält man durch Potenzieren der Diagonalelemente.
Diagonalisierung
Ist eine Matrix
A
{\displaystyle A}
diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix
D
A
{\displaystyle D_{A}}
, für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:
D
A
=
S
−
1
A
S
{\displaystyle D_{A}=S^{-1}AS}
Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix
D
A
{\displaystyle D_{A}}
und eine zugehörige Basis aus Eigenvektoren. Dies geschieht in drei Schritten:
- Es werden die Eigenwerte
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
der Matrix
A
{\displaystyle A}
bestimmt. (Einzelne Eigenwerte können dabei mehrfach vorkommen.)
- Es werden die Eigenräume
E
(
λ
i
)
{\displaystyle E\left(\lambda _{i}\right)}
zu allen Eigenwerten
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
berechnet, also Gleichungssysteme der folgenden Form gelöst
(
A
−λ
i
I
)
⋅(
e
1
⋮
e
n
)
=
0{\displaystyle (A-\lambda _{i}I)\cdot {\begin{pmatrix}e_{1}\\\vdots \\e_{n}\end{pmatrix}}=0}
.
- Weil die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit jedes Eigenwerts ist, kann man zu jeder maximalen Menge
λ
i
1
=
…
=λ
i
k
{\displaystyle \lambda _{i_{1}}=\ldots =\lambda _{i_{k}}}
übereinstimmender Eigenwerte eine Basis
{
b
i
1
,
…
,b
i
k
}
{\displaystyle \left\{b_{i_{1}},\ldots ,b_{i_{k}}\right\}}
von
E
(
λ
i
1
)
=
…
=
E
(λ
i
k
)
{\displaystyle E\left(\lambda _{i_{1}}\right)=\ldots =E(\lambda _{i_{k}})}
finden.
- Nun ist die Diagonalform
D
A
{\displaystyle D_{A}}
der Matrix
A
{\displaystyle A}
bezüglich der Basis
B
={
b
1
,
…
,b
n
}
{\displaystyle B=\left\{b_{1},\ldots ,b_{n}\right\}}
:
D
A
=
diag
(λ
1
,
λ
2
,
…
,λ
n
)
{\displaystyle D_{A}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}
S
=(
b
1
,
…
,b
n
)
{\displaystyle S=\left(b_{1},\ldots ,b_{n}\right)}
Simultane Diagonalisierung
Gelegentlich will man auch zwei Matrizen
A
,
B
{\displaystyle A,B}
mit derselben Transformation
S
{\displaystyle S}
diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt
S
−
1
A
S
=
D
1
{\displaystyle S^{-1}AS=D_{1}}
und
S
−
1
B
S
=
D
2
{\displaystyle S^{-1}BS=D_{2}}
und da
D
1
{\displaystyle D_{1}}
und
D
2
{\displaystyle D_{2}}
Diagonalmatrizen sind,
D
1
⋅
D
2
=
D
2
⋅
D
1
⇒
B
⋅
A
=
S
D
2
S
−
1
⋅
S
D
1
S
−
1
=
S
D
1
D
2
S
−
1
=
A
⋅
B
{\displaystyle D_{1}\cdot D_{2}=D_{2}\cdot D_{1}\Rightarrow B\cdot A=SD_{2}S^{-1}\cdot SD_{1}S^{-1}=SD_{1}D_{2}S^{-1}=A\cdot B}
.
Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren. In der Tat gilt auch die Umkehrung: Kommutieren zwei diagonalisierbare Endomorphismen, so können sie simultan diagonalisiert werden. In der Quantenmechanik gibt es für zwei solche Operatoren dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen.
Beispiel
Sei
A
=
(
1
0
1
0
2
0
1
0
1
)
∈
R
3
×
3
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3\times 3}}
die zu diagonalisierende Matrix.
A
{\displaystyle A}
ist sogar orthogonal diagonalisierbar, da
A
{\displaystyle A}
symmetrisch ist, d. h., es gilt
A
=
A
T
{\displaystyle A=A^{\mathsf {T}}}
.
Die Eigenwerte
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
von
A
{\displaystyle A}
lassen sich durch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
χ
A
{\displaystyle \chi _{A}}
bestimmen:
χ
A
(
λ
)
=
det
(
λ
E
3
−
A
)
=
det
(
λ
−
1
0
−
1
0
λ
−
2
0
−
1
0
λ
−
1
)
=
λ
(
λ
−
2
)
2
{\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=\det(\lambda E_{3}-A)=\det {\begin{pmatrix}\lambda -1&0&-1\\0&\lambda -2&0\\-1&0&\lambda -1\end{pmatrix}}=\lambda (\lambda -2)^{2}}
Also
λ
1
=
0
,
λ
2
=
2
{\displaystyle \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=2}
. Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit
a
λ
2
=
2
{\displaystyle a_{\lambda _{2}}=2}
, da er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Zum Bestimmen der Eigenräume setze man die Eigenwerte in
E
(
λ
)
=
K
e
r
n
(
λ
E
3
−
A
)
{\displaystyle E(\lambda )=\mathrm {Kern} (\lambda E_{3}-A)}
ein.
Um alle
v
∈
R
3
{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}}
mit
(
λ
E
3
−
A
)
v
=
0
{\displaystyle (\lambda E_{3}-A)v=0}
zu erhalten, fasst man die erweiterte Koeffizientenmatrix
(
λ
E
3
−
A
∣
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda E_{3}-A\mid 0\end{pmatrix}}}
als lineares Gleichungssystem mit unendlichen Lösungen auf.
Für
λ
=
0
{\displaystyle \lambda =0}
erhält man
(
−
A
∣
0
)
=
(
−
1
0
−
1
0
0
−
2
0
0
−
1
0
−
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-A\mid 0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{array}{ccc|c}-1&0&-1&0\\0&-2&0&0\\-1&0&-1&0\end{array}}\end{pmatrix}}}
, mit dem gaußschen Eliminationsverfahren erhalten wir
(
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\begin{array}{ccc|c}1&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\end{pmatrix}}}
und somit als Lösungsmenge den Eigenraum:
E
(
λ
1
)
=
{
(
α
0
−
α
)
:
α
∈
R
}
=
Lin
(
1
0
−
1
)
{\displaystyle E(\lambda _{1})=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha \\0\\-\alpha \end{pmatrix}}:\alpha \in \mathbb {R} \right\}=\operatorname {Lin} {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}}
,
wobei
Lin
{\displaystyle \operatorname {Lin} }
die lineare Hülle bezeichnet.
Für
λ
=
2
{\displaystyle \lambda =2}
erhält man
(
2
⋅
E
3
−
A
∣
0
)
=
(
1
0
−
1
0
0
0
0
0
−
1
0
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2\cdot E_{3}-A\mid 0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\end{array}}\end{pmatrix}}}
, daraus
(
1
0
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\end{pmatrix}}}
und somit als Lösungsmenge den Eigenraum:
E
(
λ
2
)
=
{
(
α
β
α
)
:
α
,
β
∈
R
}
=
Lin
{
(
1
0
1
)
,
(
0
1
0
)
}
{\displaystyle E(\lambda _{2})=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \\\alpha \end{pmatrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \right\}=\operatorname {Lin} \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right\}}
.
Die Eigenvektoren
v
1
=
(
1
0
−
1
)
,
v
2
=
(
1
0
1
)
,
v
3
=
(
0
1
0
)
{\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},v_{3}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}
erhält man aus den Basen der Eigenräume, sie bilden eine Basis von
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
.
Wenn man
v
1
,
v
2
,
v
3
{\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}
normiert, erhält man mit
b
1
=
1
2
(
1
0
−
1
)
,
b
2
=
1
2
(
1
0
1
)
,
b
3
=
(
0
1
0
)
{\displaystyle b_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},b_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},b_{3}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}
und
B
=
{
b
1
,
b
2
,
b
3
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{b_{1},b_{2},b_{3}\right\}}
eine Orthonormalbasis, da
A
{\displaystyle A}
symmetrisch und die Eigenvektoren der halbeinfachen Eigenwerte orthogonal zueinander sind (in dem Fall
v
2
⊥
v
3
{\displaystyle v_{2}\perp v_{3}}
).
Es gilt also
S
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
=
1
2
(
1
1
0
0
0
2
−
1
1
0
)
{\displaystyle S=\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&{\sqrt {2}}\\-1&1&0\end{pmatrix}}}
. Daraus erhält man unter der Nutzung der Eigenschaften von Orthonormalbasen die Inverse
S
−
1
=
S
T
=
1
2
(
1
0
−
1
1
0
1
0
2
0
)
{\displaystyle S^{-1}=S^{\mathsf {T}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&0&1\\0&{\sqrt {2}}&0\end{pmatrix}}}
.
D
A
{\displaystyle D_{A}}
bestimmt sich durch
D
A
=
diag
(
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
)
=
diag
(
0
,
2
,
2
)
=
(
0
0
0
0
2
0
0
0
2
)
{\displaystyle D_{A}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})=\operatorname {diag} (0,2,2)={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}}}
.
Somit erhält man für
D
A
=
S
−
1
A
S
{\displaystyle D_{A}=S^{-1}AS}
(
0
0
0
0
2
0
0
0
2
)
=
1
2
(
1
0
−
1
1
0
1
0
2
0
)
(
1
0
1
0
2
0
1
0
1
)
(
1
1
0
0
0
2
−
1
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&0&1\\0&{\sqrt {2}}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&{\sqrt {2}}\\-1&1&0\end{pmatrix}}}
und damit die Diagonalisierung
A
=
S
D
A
S
−
1
=
1
2
(
1
1
0
0
0
2
−
1
1
0
)
(
0
0
0
0
2
0
0
0
2
)
(
1
0
−
1
1
0
1
0
2
0
)
{\displaystyle A=SD_{A}S^{-1}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&{\sqrt {2}}\\-1&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&0&1\\0&{\sqrt {2}}&0\end{pmatrix}}}
.
Siehe auch
- Jordansche Normalform
- Frobenius-Normalform
Weblinks
Einzelnachweise
Matrizen DREIPUNKT®
Matrix Orthogonal Und Symmetrisch at Benjamin Marcial blog
F MatrixDiagonalisierung
Matrix diagonalisieren • Diagonalmatrix, Diagonalisierbarkeit · [mit Video]
Diagonalisierung 01 Intro, Diagonalisierung von Endomorphismen und
PPT MatrixAlgebra PowerPoint Presentation, free download ID539419
Die Determinante berechnen Mathe einfach erklärt
Was ist eine Matrix? • Einfach erklärt · [mit Video]
PPT MatrixAlgebra PowerPoint Presentation, free download ID539419
Eigenwerte eine Matrix bestimmen (herantastend erklärt) YouTube
PPT Einführung in die Matrizenrechnung PowerPoint Presentation, free
Matrix diagonalisieren, Beispiel, Matrixalgebra, Lineare Algebra
MatrixAlgebra Grundlagen 1 Matrizen und Vektoren Matrix ist
PPT Eigenwerttechniken PowerPoint Presentation, free download ID
Digitales Lehren und Lernen Geometrie und Approximation TU Darmstadt
Diagonalizing a 2×2 Matrix Linear Algebra Exercises YouTube
Matrix diagonalisierbar? YouTube
PPT MatrixAlgebra PowerPoint Presentation, free download ID539419
Diagonalisierung bestimmen Mathelounge
Diagonalisierbare Matrizen
Matrix-Diagonalisierung-Rechner Diagonalisieren Sie eine quadratische Matrix durch Berechnung von Eigenwerten, Eigenvektoren und der Zerlegung A = PDP⁻¹. Unterstützt 2×2 bis 5×5 Matrizen mit Schritt-für-Schritt-Lösungen, charakteristischem Polynom, Vielfachheitsanalyse und interaktiver Visualisierung.. Von jedem Absolventen der Mathematik wird erwartet, dass er dieses Verfahren versteht und anwenden kann. Oft verwendet man den Namen Hauptachsentransformation auch einfach f ̈ur die Diagonalisierung von symmetri-schen Matrizen, weil dies genau das ist, was bei der Hauptachsentransformation passiert.