In diesem Kapitel beweisen wir die wichtigsten Konvergenz-Kriterien für unendliche Reihen und behandeln einige typische Beispiele. Das Cauchysche Konvergenz-Kriterium für unendliche Reihen ist eine direkte Anwendung des Vollständigkeits-Axioms für Folgen reeller Zahlen. Das Leibniz’sche Konvergenz-Kriterium bezieht sich auf Reihen mit abwechselnden Vorzeichen der Glieder. Ein wichtiger.. Im Artikel Grundlagen von Reihen haben wir bereits einiges über Konvergenz und Divergenz von Reihen gelernt. Nun soll es um die Kriterien gehen, anhand derer man Reihen auf Konvergenz oder Divergenz prüfen kann. Ich will sie euch im folgenden vorstellen. Nullfolgenkriterium Das Nullfolgenkriterium ist das grundlegendste Kriterium. Es besagt: Eine Reihe ∑ a n kann nur dann konvergieren.
In der Analysis ist ein Konvergenzkriterium ein Kriterium, mit dem die Konvergenz einer Folge oder Reihe bewiesen oder auch widerlegt werden kann. Insbesondere sind damit Kriterien für die Konvergenz oder auch Divergenz reeller Folgen oder Reihen gemeint.
Konvergenzkriterien für Folgen
Wichtige Konvergenzkriterien für Folgen sind:
- Monotoniekriterium: Eine monotone Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.
- Cauchy-Kriterium: Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
- Sandwichkriterium: Eine Folge reeller Zahlen konvergiert, wenn sie nach unten und nach oben durch konvergente Folgen abgeschätzt werden kann, die den gleichen Grenzwert haben.
Konvergenzkriterien für Reihen
Für Reihen werden drei Arten von Konvergenzkriterien unterschieden:
- Direkte Kriterien, die aus Eigenschaften der Partialsummenfolge der Reihe auf Konvergenz schließen,
- Vergleichskriterien 1. Art, die den Absolutbetrag bzw. die Norm der Reihenglieder mit einer bekannten Reihe vergleichen, und
- Vergleichskriterien 2. Art, die die Quotienten der Absolutbeträge aufeinanderfolgender Glieder mit den entsprechenden Quotienten einer bekannten Reihe vergleichen.
Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über bekannte Konvergenzkriterien. Die Kriterien ermöglichen unterschiedliche Aussagen: Einige erlauben nur den Schluss auf Konvergenz, mit anderen kann auch Divergenz bewiesen werden, einige zeigen absolute Konvergenz, andere nur Konvergenz (aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz, aber nicht umgekehrt). Zudem erlauben verschiedene Kriterien eine Abschätzung des Grenzwerts oder eine Fehlerabschätzung.
Siehe auch
- Logarithmisches Konvergenzkriterium
- Weierstraßsches Majorantenkriterium
- Sapogowsches Kriterium
Literatur
- Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Aufl. Springer, Berlin/Heidelberg 1996 (Ausgabe von 1964)
- G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974.
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Aufgabe 4 Untersuchen Sie die folgenden StudyX
Du sollst eine geometrische Reihe auf Konvergenz untersuchen? Kein Problem! Dazu benötigst du nur die Formel von oben und manchmal ein bisschen Geschick, um die gegebene Reihe umzuformen. Betrachte dazu folgendes Beispiel . Schritt 1: Im ersten Schritt formst du die Reihe so um, dass du einen Quotienten erreichst, der k-mal potenziert wird. In diesem Beispiel kannst du die 2 aus dem Zähler.. Ohne Nachweis seien hier notwendige, aber teilweise nicht hinreichende Bedingungen für die Konvergenz einer Reihe genannt: a) Quotientenkriterium nach D’Alembert, notwendig aber nicht hinreichend